Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$

Passaggio 2.2

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{3} e^{x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{3} e^{x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{3} e^{x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x} y = \int x^{3} e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{3}$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Passaggio 6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Passaggio 6.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Passaggio 6.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Passaggio 6.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Passaggio 6.7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Passaggio 6.8

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Passaggio 6.9

Riscrivi $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ come $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $x^{2} e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- 2 x e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2.4

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x)$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2.5

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x + 2))}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 7.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.3.2

Dividi $- 3 (x^{2} - 2 x + 2)$ per $1$ .

$y = x^{3} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.5

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.5.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{C}{e^{x}}$