Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$x y = \int x \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Passaggio 6.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $\int \cos (x) d x$ per $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Passaggio 6.5

Riscrivi $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ come $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Passaggio 7

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2

Dividi $- \cos (x)$ per $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$