Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = - 2 x^{3}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 x d x}$

Passaggio 1.2

Integra $2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int x d x}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{1 x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x^{2}} y = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{x^{2}} y = - 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Passaggio 6.2

Sia $u = x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sia $u = x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Passaggio 6.3.2

$\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Passaggio 6.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{x^{2}} y = - 2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{- 2}{2} \int u e^{u} d u$

Passaggio 6.5.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int u e^{u} d u$

Passaggio 6.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int u e^{u} d u$

Passaggio 6.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int u e^{u} d u$

Passaggio 6.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{x^{2}} y = \frac{- 1}{1} \int u e^{u} d u$

Passaggio 6.5.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$e^{x^{2}} y = - \int u e^{u} d u$

Passaggio 6.6

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Passaggio 6.8

Semplifica.

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - e^{u}) + C$

Passaggio 6.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 6.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}}) - - e^{x^{2}} + C$

Passaggio 6.10.2

Moltiplica $- - e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + 1 e^{x^{2}} + C$

Passaggio 6.10.2.2

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{x^{2}}$ ciascun termine in $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{x^{2}}$ ciascun termine in $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Dividi $- x^{2}$ per $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - x^{2} + 1 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$