Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81)$ , $y (\ln (3)) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = e^{4 t} - 81$ . Allora $d u_{2} = 4 e^{4 t} d t$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = e^{4 t} d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = e^{4 t} - 81$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $e^{4 t} - 81$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} - 81]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{4 t} - 81$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [e^{4 t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 t$ .

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Passaggio 2.3.2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 t$ .

$e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 81]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 81]$

Passaggio 2.3.2.1.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- 81]$

Passaggio 2.3.2.1.3.5

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 t}$ .

$4 e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- 81]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 81$ rispetto a $t$ è $0$ .

$4 e^{4 t} + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $4 e^{4 t}$ e $0$ .

$4 e^{4 t}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

$\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{4 t} - 81$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{4 t} - 81) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $\ln (3)$ e $y$ con $0$ in $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ .

$0 = - \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$ .

$- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Semplifica $4 \ln (3)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$- \cos (e^{\ln (3^{4})} - 81) + K = 0$

Passaggio 4.2.1.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$- \cos (3^{4} - 81) + K = 0$

Passaggio 4.2.1.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- \cos (81 - 81) + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Sottrai $81$ da $81$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + K = 0$

Passaggio 4.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1$

Passaggio 5

Sostituisci $1$ a $K$ in $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + 1$