Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 1)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 1)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 1)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d w}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{4 x + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{4 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $\sqrt{w}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{4 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{4 x + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{w}$ come $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta $w^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $w^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $w$ è $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $(4 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.1.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $w^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $4 \ln (| x |)$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 \ln (| x |)}{1} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3.2.4

Dividi $2 \ln (| x |)$ per $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + 2 \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + C)}^{2}$