Calcolo Esempi

$\frac{d E}{d t} = 30 - 10 t$ , $E (2) = 72$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d E = (30 - 10 t) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d E = \int 30 - 10 t d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$E + C_{1} = \int 30 - 10 t d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$E + C_{1} = \int 30 d t + \int - 10 t d t$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} + \int - 10 t d t$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 10$ fuori dall'integrale.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 \int t d t$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

$E + C_{1} = 30 t - 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.2.1

$- 10$ e $\frac{1}{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 10}{2} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

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Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 5}{1} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2.4

Dividi $- 5$ per $1$ .

$E + C_{1} = 30 t - 5 t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$E + C_{1} = - 5 t^{2} + 30 t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $2$ e $E$ con $72$ in $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ .

$72 = - 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$ .

$- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 5 \cdot 4 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$- 20 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $30$ per $2$ .

$- 20 + 60 + K = 72$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 20$ e $60$ .

$40 + K = 72$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $40$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 72 - 40$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $40$ da $72$ .

$K = 32$

Passaggio 5

Sostituisci $32$ a $K$ in $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $32$ a $K$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + 32$