Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d w}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $2$ da $4 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x) + 2)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x) + 2 (1))}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x + 1))}{x^{2}}$

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} \cdot 2 (2 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{w}$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w} (2 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d w}{d x} = 2 \sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (2 \sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{w}}$ per $\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{w}} \cdot \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}) (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{w}}$ per $\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w} \sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.2

Eleva $\sqrt{w}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.3

Eleva $\sqrt{w}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1 + 1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{w}}^{2}$ come $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{w}$ come $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{(w^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.3.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.4

$2$ e $\frac{\sqrt{w}}{w}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w}}{w} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

Passaggio 1.4.5

$\sqrt{w}$ e $\frac{2 x + 1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w}}{w} \cdot \frac{\sqrt{w} (2 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.6

Combina.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w} (\sqrt{w} (2 x + 1))}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Eleva $\sqrt{w}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}) (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.7.2

Eleva $\sqrt{w}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}) (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {\sqrt{w}}^{1 + 1} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.7.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {\sqrt{w}}^{2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.8

Riscrivi ${\sqrt{w}}^{2}$ come $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{w}$ come $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{2}{2}} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{2}{2}} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{1} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.8.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.9

Elimina il fattore comune di $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w (2 x + 1)}{w x^{2}}$

Passaggio 1.4.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{w}$ come $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta $w^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $w^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $w$ è $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $(2 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4.1.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4.1.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\int 2 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

Passaggio 2.3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x)$

Passaggio 2.3.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $w^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Dividi $2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}$ per $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$w^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$w^{1} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Semplifica.

$w = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$w = {(\ln (x^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$w = {(\ln (x^{2}) - \frac{1}{x} + C)}^{2}$