Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 24$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.8

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

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Passaggio 2.3.9.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.9.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.9.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.9.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.9.2

Semplifica.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $3$ e $y$ con $- 6$ in $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ .

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ .

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Passaggio 4.2

Semplifica $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $9$ .

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $8$ per $3$ .

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $27$ da $81$ .

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $108$ da $54$ .

$- 54 + 24 + K = - 6$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $- 54$ e $24$ .

$- 30 + K = - 6$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $30$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 6 + 30$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 6$ e $30$ .

$K = 24$

Passaggio 5

Sostituisci $24$ a $K$ in $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $24$ a $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$