Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 \sqrt{y}$ , $y (1) = 16$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (6 \sqrt{y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ per $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ per $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.2

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{y}}^{2}$ come $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.3.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.4

$6$ e $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $\frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

$\frac{6 \sqrt{y}}{y}$ e $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y} \sqrt{y}}{y}$

Passaggio 1.2.5.2

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y}$

Passaggio 1.2.5.3

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y}$

Passaggio 1.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y}$

Passaggio 1.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{2}}{y}$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{y}}^{2}$ come $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Passaggio 1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Passaggio 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Passaggio 1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Passaggio 1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{1}}{y}$

Passaggio 1.2.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Passaggio 1.2.7.2

Dividi $6$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 6 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 6 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 6 d x$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 6 d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 6 d x$

Passaggio 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 6 d x$

Passaggio 2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 6 d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 6 d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 6 x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x}{1} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2.4

Dividi $3 x$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 3 x + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$y = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ come $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ .

$y = (3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Espandi $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 x (3 x + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = 9 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $3 x \frac{K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.1

$3$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + x \frac{3 K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.2

$x$ e $\frac{3 K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{x (3 K)}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 \cdot x K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + 3 \frac{K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.7

$3$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8

$\frac{3 K}{2}$ e $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9

Moltiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.1

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.2

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.3

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Somma $\frac{3 x K}{2}$ e $\frac{3 K x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.2.1

Sposta $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2.2

Somma $\frac{3 K x}{2}$ e $\frac{3 K x}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.4

Semplifica $9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $9 x^{2}$ .

$y = 3 K x + \frac{K^{2}}{4} + 9 x^{2}$

Passaggio 3.4.2

Riordina $3 K x$ e $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 3 K x + 9 x^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = K + K x + 9 x^{2}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $16$ in $y = K + K x + 9 x^{2}$ .

$16 = K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$ .

$K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Passaggio 6.2

Semplifica $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $K$ per $1$ .

$K + K + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Passaggio 6.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$K + K + 9 \cdot 1 = 16$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$K + K + 9 = 16$

Passaggio 6.2.2

Somma $K$ e $K$ .

$2 K + 9 = 16$

Passaggio 6.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 K = 16 - 9$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $9$ da $16$ .

$2 K = 7$

Passaggio 6.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 7$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{7}{2}$ a $K$ in $y = K + K x + 9 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $\frac{7}{2}$ a $K$ .

$y = \frac{7}{2} + K x + 9 x^{2}$