Calcolo Esempi

$(2 x y^{2} - y) d x + x d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y^{2} - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y^{2}$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $4 x y - 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$4 x y - 1 = 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$4 x y - 1 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $4 x y - 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (4 x y - 1)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2 x y^{2} - y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2 x y^{2} - y$ a $M$ .

$\frac{1 - (4 x y - 1)}{2 x y^{2} - y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - (4 x y) - - 1}{2 x y^{2} - y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1 - 4 (x y) - - 1}{2 x y^{2} - y}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - 4 (x y) + 1}{2 x y^{2} - y}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 4 x y + 2}{2 x y^{2} - y}$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi $2$ da $- 4 x y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $- 4 x y$ .

$\frac{2 (- 2 x y) + 2}{2 x y^{2} - y}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 2 x y) + 2 (1)}{2 x y^{2} - y}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{2 x y^{2} - y}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $y$ da $2 x y^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $y$ da $2 x y^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y) - y}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y) + y \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (2 x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y - 1)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- 2 x y + 1$ e $2 x y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x y$ .

$\frac{2 (- (2 x y) + 1)}{y (2 x y - 1)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x y) - 1 (- 1))}{y (2 x y - 1)}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Passaggio 4.3.4.4

Riscrivi $- (2 x y - 1)$ come $- 1 (2 x y - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Passaggio 4.3.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 1 (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Passaggio 4.3.4.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci $2 x y^{2} - y$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(2 x y^{2} - y) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x y^{2} - y$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} - y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2 x y^{2} - y$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $y$ da $2 x y^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $y$ da $2 x y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y) - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{y (2 x y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $y$ da $y (2 x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x y - 1)}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (2 x y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6

$x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Passaggio 8.2

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$f (x, y) = x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Passaggio 8.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x, y) = x \int y^{- 2} d y$

Passaggio 8.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x (- y^{- 1} + C)$

Passaggio 8.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riscrivi $x (- y^{- 1} + C)$ come $x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x (- \frac{1}{y}) + C$

Passaggio 8.5.2

$x$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y} + g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x}{y} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $- \frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{y}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{2 x y - 1}{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x y - 1}{y} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - (2 x y - 1)}{y} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - (2 x y) - - 1}{y} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - 2 (x y) - - 1}{y} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - 2 x y + 1}{y} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $- 1 - 2 x y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y + 0}{y} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Somma $- 2 x y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Dividi $- 2 x$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $2 x$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Passaggio 13.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 2 \int x d x$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + x^{2} + C$