Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 9 e^{x + 7}$ , $y (- 7) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 9 e^{x + 7} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 9 e^{x + 7} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 9 e^{x + 7} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 9 \int e^{x + 7} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x + 7$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x + 7$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 9 \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 9 (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = 9 e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 7$ .

$y + C_{1} = 9 e^{x + 7} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 9 e^{x + 7} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $- 7$ e $y$ con $0$ in $y = 9 e^{x + 7} + K$ .

$0 = 9 e^{- 7 + 7} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $9 e^{- 7 + 7} + K = 0$ .

$9 e^{- 7 + 7} + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $9 e^{- 7 + 7} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $- 7$ e $7$ .

$9 e^{0} + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$9 \cdot 1 + K = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 9$

Passaggio 5

Sostituisci $- 9$ a $K$ in $y = 9 e^{x + 7} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 9$ a $K$ .

$y = 9 e^{x + 7} - 9$