Calcolo Esempi

Risolvere l''Equazione Differenziale (dy)/(dx)=x+5y , y(0)=3
,
Passaggio 1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2
Il fattore di integrazione è definito dalla formula , dove .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Imposta l'integrazione.
Passaggio 2.2
Applica la regola costante.
Passaggio 2.3
Rimuovi la costante dell'integrazione.
Passaggio 3
Moltiplica ogni termine integrando il fattore .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Moltiplica ogni termine per .
Passaggio 3.2
Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 3.3
Riordina i fattori in .
Passaggio 4
Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.
Passaggio 5
Imposta un integrale su ciascun lato.
Passaggio 6
Integra il lato sinistro.
Passaggio 7
Integra il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Integra per parti usando la formula , dove e .
Passaggio 7.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1
e .
Passaggio 7.2.2
e .
Passaggio 7.3
Poiché è costante rispetto a , sposta fuori dall'integrale.
Passaggio 7.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 7.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 7.5
Sia . Allora , quindi . Riscrivi usando e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.5.1
Sia . Trova .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.5.1.1
Differenzia .
Passaggio 7.5.1.2
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 7.5.1.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 7.5.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 7.5.2
Riscrivi il problema usando e .
Passaggio 7.6
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.6.1
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 7.6.2
e .
Passaggio 7.7
Poiché è costante rispetto a , sposta fuori dall'integrale.
Passaggio 7.8
Poiché è costante rispetto a , sposta fuori dall'integrale.
Passaggio 7.9
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.9.1
Moltiplica per .
Passaggio 7.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 7.10
L'integrale di rispetto a è .
Passaggio 7.11
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.11.1
Riscrivi come .
Passaggio 7.11.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.11.2.1
e .
Passaggio 7.11.2.2
e .
Passaggio 7.12
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 7.13
e .
Passaggio 7.14
Riordina i termini.
Passaggio 8
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.1
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.1.1
e .
Passaggio 8.1.2
e .
Passaggio 8.1.3
e .
Passaggio 8.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 8.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.2.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 8.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.3.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.3.1.1
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 8.2.3.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 8.2.3.1.3
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.3.1.3.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.2.3.1.3.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8.2.3.1.4
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 8.2.3.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 8.2.3.1.6
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.3.1.6.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.2.3.1.6.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9
Usa la condizione iniziale per trovare il valore di sostituendo con e con in .
Passaggio 10
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 10.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.2.1
Dividi per .
Passaggio 10.2.2
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 10.2.2.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.2.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 10.2.2.2.2
Qualsiasi valore elevato a è .
Passaggio 10.2.2.3
Dividi per .
Passaggio 10.2.3
Sottrai da .
Passaggio 10.3
Sposta tutti i termini non contenenti sul lato destro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.3.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 10.3.2
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 10.3.3
e .
Passaggio 10.3.4
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 10.3.5
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.3.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 10.3.5.2
Somma e .
Passaggio 11
Sostituisci a in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci a .
Passaggio 11.2
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 11.2.2
Combina.
Passaggio 11.2.3
Moltiplica per .