Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y \sqrt{y + 1}$ .

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - y \sqrt{y + 1} \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y \sqrt{y + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $y \sqrt{y + 1}$ da $- y \sqrt{y + 1}$ .

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- 1) \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} \cdot - 1 \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y \sqrt{y + 1} d y = (- x^{2} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y \sqrt{y + 1} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = \sqrt{y + 1}$ .

$y (\frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.2.2

$y$ e $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y) = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Sia $u = y + 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sia $u = y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}) = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1})$ come $\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $y$ .

$\frac{2 y}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.2

$\frac{2 y}{3}$ e ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.3

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.5

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.6

Per scrivere $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.7

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{4}{15}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.10

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.11

$- 3$ e $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.12

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.13

Scomponi $3$ da $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.6.2.14.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.16

Per scrivere $2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.17

$2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.19

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.20

Riscrivi $\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ come un prodotto.

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.21

Moltiplica $\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6.2.22

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 1$ .

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.8

Riordina i termini.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) = - \frac{1}{3} x^{3} - x + K$