Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x^{2} - 4 x})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x$ da $x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

Passaggio 1.2.3.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Passaggio 1.2.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x (x - 4)}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x (x - 4)} d x$

Passaggio 2.3.2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x - 4)$ .

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.5.1.2

Dividi $A (x - 4)$ per $1$ .

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.5.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.1.5.4.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

Passaggio 2.3.2.1.6

Sposta $- 4 A$ .

$1 = A x + B x - 4 A$

Passaggio 2.3.2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 4 A$

Passaggio 2.3.2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

Passaggio 2.3.2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = - 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.1.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 1$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- \frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2.3.3.2

Somma $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.5.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Passaggio 2.3.2.5.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{x - 4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int - \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \int \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

Passaggio 2.3.8

Sia $u = x - 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Sia $u = x - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.1

Differenzia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 2.3.8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.8.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{3}))$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 4 |)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1.1

$\ln (| x |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| x |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 4 |)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.1.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| x - 4 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| x |)}{4} + \frac{\ln (| x - 4 |)}{4}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- \ln (| x |) + \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3

Scomponi $- 1$ da $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |)) + \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.4

Scomponi $- 1$ da $\ln (| x - 4 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |)) - 1 (- \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.5

Scomponi $- 1$ da $- (\ln (| x |)) - 1 (- \ln (| x - 4 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.6

Riscrivi $- (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))$ come $- 1 (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- 1 (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.9

Moltiplica $\frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.10

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.13

Riordina i termini.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |}) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{4} \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |}) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} + C$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\ln (| y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

$\ln (| y |)$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 4 - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Passaggio 3.5

Sposta $4$ alla sinistra di $\ln (| y |)$ .

$\frac{4 \ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Passaggio 3.6

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica $\frac{4 \ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1

Semplifica $4 \ln (| y |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{4}) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Passaggio 3.6.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{\ln (y^{4}) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Passaggio 3.6.1.1.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{4}}{\frac{| x |}{| x - 4 |}})}{4} = C$

Passaggio 3.6.1.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\ln (y^{4} \frac{| x - 4 |}{| x |})}{4} = C$

Passaggio 3.6.1.1.5

$y^{4}$ e $\frac{| x - 4 |}{| x |}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}{4} = C$

Passaggio 3.6.1.2

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |}) = C$

Passaggio 3.6.1.3

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}^{\frac{1}{4}}) = C$

Passaggio 3.6.1.4

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{4} | x - 4 |)}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $y^{4} | x - 4 |$ .

$\ln (\frac{{(y^{4})}^{\frac{1}{4}} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{4 (\frac{1}{4})} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{y^{4 (\frac{1}{4})} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{y^{1} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.2

Semplifica.

$\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Passaggio 3.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}})} = e^{C}$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 3.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} = e^{C}$ .

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} = e^{C}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica ogni lato per ${| x |}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} {| x |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3.9.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

Elimina il fattore comune di ${| x |}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} {| x |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3.9.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3.9.4

Dividi per ${| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}$ ciascun termine in $y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.1

Dividi per ${| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}$ ciascun termine in $y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 3.9.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 3.9.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$