Calcolo Esempi

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Combina.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Nega l'esponente di $e^{t}$ e rimuovilo dal denominatore.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{t})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

Passaggio 2.3.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $e^{- t}$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = - t$ . Allora $d u = - d t$ , quindi $- d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = - t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riordina i fattori in $- e^{- t} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- y e^{- t} + K y = - 1$ .

$- y e^{- t} + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $- y e^{- t} + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $- y e^{- t}$ .

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (- 1 e^{- t}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.4

Dividi per $- e^{- t} + K$ ciascun termine in $y (- e^{- t} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Dividi per $- e^{- t} + K$ ciascun termine in $y (- e^{- t} + K) = - 1$ .

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- e^{- t} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Passaggio 3.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- e^{- t}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

Passaggio 3.3.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

Passaggio 3.3.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.5.1

Riscrivi $- (e^{- t} - K)$ come $- 1 (e^{- t} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

Passaggio 3.3.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

Passaggio 3.3.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

Passaggio 3.3.4.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{e^{- t} - K}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $0$ e $y$ con $\frac{1}{4}$ in $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ .

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1 + K, 4$

Passaggio 6.3.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.3.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.3.4

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4$

Passaggio 6.3.6

Il fattore di $1 + K$ è $1 + K$ stesso.

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 6.3.7

Il minimo comune multiplo di $1 + K$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1 + K$

Passaggio 6.3.8

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$4 (1 + K)$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $4 (1 + K)$ ciascun termine in $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ per $4 (1 + K)$ .

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Passaggio 6.4.2.2

$4$ e $\frac{1}{1 + K}$ .

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Passaggio 6.4.2.3

Elimina il fattore comune di $1 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Passaggio 6.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Passaggio 6.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 = 1 + K$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $1 + K = 4$ .

$1 + K = 4$

Passaggio 6.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 4 - 1$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$K = 3$

Passaggio 7

Sostituisci $3$ a $K$ in $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $3$ a $K$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$