Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $1 + 2 y$ .

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica.

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.5.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.6

Riordina i termini.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y^{2} + y = x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

Passaggio 3.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - x^{2} - K$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

Passaggio 3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$