Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 8 x$ ; , $y (3) = 11$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (6 x^{2} + 8 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 6 x^{2} + 8 x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + 8 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 8 x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 8 \int x d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$6$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.3

$8$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{8}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{4}{1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 4 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $3$ e $y$ con $11$ in $y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$ .

$11 = 2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$ .

$2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

Passaggio 4.2

Semplifica $2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 27 + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$54 + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$54 + 4 \cdot 9 + K = 11$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $4$ per $9$ .

$54 + 36 + K = 11$

Passaggio 4.2.2

Somma $54$ e $36$ .

$90 + K = 11$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $90$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 11 - 90$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $90$ da $11$ .

$K = - 79$

Passaggio 5

Sostituisci $- 79$ a $K$ in $y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 79$ a $K$ .

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 79$