Calcolo Esempi

$x (\frac{d y}{d x}) + y = x y^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla al metodo di Bernoulli.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{3}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{3}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Moltiplica $v^{\frac{1}{2}}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.6.2.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.13

$\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.14

Sposta $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.15

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Passaggio 5.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Passaggio 5.17

Riscrivi $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ come un prodotto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Passaggio 5.18

Moltiplica $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Passaggio 5.19

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 5.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.21

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 5.23

Somma $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ per $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.2

Scomponi $2 v^{\frac{3}{2}}$ da $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5

Moltiplica $v^{- \frac{1}{2}}$ per $v^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.5.1

Sposta $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.6

Semplifica $- 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.8

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.10

$v$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.11

Sposta $2$ alla sinistra di $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1 \cdot 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.4

Moltiplica $v^{- \frac{3}{2}}$ per $v^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.4.1

Sposta $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 7.1.1.3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.4

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{0}{2}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.5

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{0}$

Passaggio 7.1.1.3.5

Semplifica $- 2 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $v$ da $- \frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 2$

Passaggio 7.1.3

Riordina $v$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 2$

Passaggio 7.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 7.2.2.5

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Passaggio 7.2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Passaggio 7.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 2}$

Passaggio 7.2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Passaggio 7.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Passaggio 7.3.2.3

$\frac{2}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Passaggio 7.3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.1

Moltiplica $\frac{2 v}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Passaggio 7.3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Passaggio 7.3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Passaggio 7.3.2.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Passaggio 7.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ e $- 2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 7.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 7.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{2}} v = - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 7.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.7.3.2

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.7.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.7.3.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 7.7.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 7.7.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.5.1

Riscrivi $- 2 (- x^{- 1} + C)$ come $- 2 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 7.7.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 7.7.5.2.2

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{2}{x} + C$

Passaggio 7.8

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1.1

Sottrai $\frac{2}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} = C$

Passaggio 7.8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} - C = 0$

Passaggio 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ e $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{2}{x} - C = 0$

Passaggio 7.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $v$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

Somma $\frac{2}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{2}{x}$

Passaggio 7.8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} + C$

Passaggio 7.8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 7.8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 7.8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1

Semplifica $(\frac{2}{x} + C) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{2}{x} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v = 2 x + C x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2.1.3

Riordina $2 x$ e $C x^{2}$ .

$v = C x^{2} + 2 x$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{- 2}$ a $v$ .

$y^{- 2} = C x^{2} + 2 x$