Calcolo Esempi

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $- (3 y + 7)$ .

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.6

Applica la regola costante.

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.7.2

Semplifica.

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.2.8

Riordina i termini.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

$y^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Passaggio 3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Passaggio 3.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

Passaggio 3.2.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 y^{2}}{2}$ nel numeratore.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Passaggio 3.3.3

Sposta $- 14 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

Passaggio 3.3.4

Sposta $2 x$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Passaggio 3.3.5

Riordina $- 3 y^{2}$ e $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = - 3$ , $b = - 14$ e $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 14$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.4.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5

Scomponi $4$ da $196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Scomponi $4$ da $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.2

Scomponi $4$ da $- 24 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.3

Scomponi $4$ da $- 24 K$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.4

Scomponi $4$ da $24 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.5

Scomponi $4$ da $4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.6

Scomponi $4$ da $4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.7

Scomponi $4$ da $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.6

Riscrivi $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ come $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.6.2

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.8

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

Passaggio 3.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$