Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $r^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $r^{- 2}$ rispetto a $r$ è $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- r^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{θ}$ rispetto a $θ$ è $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$r, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$r$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $r$ ciascun termine in $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ per $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{r}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riordina i fattori in $\ln (| θ |) r + C r$ .

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ .

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $r$ da $r \ln (| θ |) + C r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $r$ da $C r$ .

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $r$ da $r \ln (| θ |) + r C$ .

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $\ln (| θ |) + C$ ciascun termine in $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $\ln (| θ |) + C$ ciascun termine in $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (| θ |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $θ$ con $1$ e $r$ con $2$ in $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ .

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

Passaggio 5

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ .

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

Passaggio 5.2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

Passaggio 5.2.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

Passaggio 5.2.3

Somma $0$ e $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$C, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$C$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $C$ ciascun termine in $- \frac{1}{C} = 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{C} = 2$ per $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{C}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = 2 C$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $2 C = - 1$ .

$2 C = - 1$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = - 1$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ a $C$ in $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ a $C$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Per scrivere $\ln (| θ |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2

$\ln (| θ |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.1

Riordina $\ln (| θ |)$ e $2$ .

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

Passaggio 6.2.4.1.2

Semplifica $2 \cdot \ln (| θ |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

Passaggio 6.2.4.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| θ |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ per $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$