Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y + x y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $y + x y$ .

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Passaggio 1.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + x y$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + x y$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y x$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + x))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + x))$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (1 + x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + x d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ come $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$