Calcolo Esempi

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.4

Poiché la derivata di $- \cot (t)$ è $\csc^{2} (t)$ , l'integrale di $\csc^{2} (t)$ è $- \cot (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $\frac{π}{2}$ e $v$ con $- 7$ in $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ .

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ .

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{π}{2}$ .

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Passaggio 4.2.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Passaggio 4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Passaggio 4.2.1.1.4

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$π^{2} - 0 + K = - 7$

Passaggio 4.2.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$π^{2} + 0 + K = - 7$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $π^{2}$ e $0$ .

$π^{2} + K = - 7$

Passaggio 4.3

Sottrai $π^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 7 - π^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $- 7 - π^{2}$ a $K$ in $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 7 - π^{2}$ a $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$