Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 + 2 x y$

Passaggio 1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 2 x d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- 2 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 \int x d x}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 \cdot e^{- x^{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- x^{2}} y = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 7.2

$\int e^{- x^{2}} d x$ è un integrale speciale. L'integrale è la funzione degli errori.

$e^{- x^{2}} y = 2 (erf (x) + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$e^{- x^{2}} y = 2 erf (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- x^{2}}$ ciascun termine in $e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- x^{2}}$ ciascun termine in $e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x^{2}}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$