Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{t + t y}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $t$ da $t + t y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t^{1} + t y}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t y}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $t$ da $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t (y)}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $t$ da $t \cdot 1 + t (y)$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica $t$ per $1 + y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} (\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $1 + y$ da $\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 1 + y$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 + y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $0$ e $2 t$ .

$2 t$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + t^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} + C$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\ln (| 1 + y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

$\ln (| 1 + y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.6

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica $\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| 1 + y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.6.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| 1 + y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.6.1.1.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2} = C$

Passaggio 3.6.1.2

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}) = C$

Passaggio 3.6.1.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.6.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.2

Semplifica.

$\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica ogni lato per ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.9.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

Semplifica $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.1

Elimina il fattore comune di ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.9.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.9.3.1.2

Riordina $1$ e $y$ .

$y + 1 = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.9.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = C {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$