Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{r}{θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{2 r θ}{θ^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Elimina il fattore comune di $θ$ e $θ^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Scomponi $θ$ da $2 r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Scomponi $θ$ da $θ^{2}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ \cdot θ}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ \cdot θ}$

Passaggio 1.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{2 r}{θ}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{r^{2}}{θ^{2}}$ come ${(\frac{r}{θ})}^{2}$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + \frac{2 r}{θ}$

Passaggio 1.3

Metti in evidenza $\frac{r}{θ}$ in $\frac{2 r}{θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $\frac{r}{θ}$ da $\frac{2 r}{θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + \frac{r}{θ} \cdot 2$

Passaggio 1.3.2

Riordina $\frac{r}{θ}$ e $2$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + 2 \cdot \frac{r}{θ}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{r}{θ}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{r}{θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = V^{2} + 2 \cdot V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{r}{θ}$ per $r$ .

$r = V θ$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $r = V θ$ rispetto a $θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = θ \frac{d V}{d θ} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $θ \frac{d V}{d θ} + V$ a $\frac{d r}{d θ}$ .

$θ \frac{d V}{d θ} + V = V^{2} + 2 V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d θ}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + 2 V - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Sottrai $V$ da $2 V$ .

$θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $θ$ ciascun termine in $θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $θ$ ciascun termine in $θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$ .

$\frac{θ \frac{d V}{d θ}}{θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{θ \frac{d V}{d θ}}{θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d θ}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V^{2} + V}{θ}$

Passaggio 6.1.2.2

Scomponi $V$ da $V^{2} + V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $V$ da $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V}{θ}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V^{1}}{θ}$

Passaggio 6.1.2.2.3

Scomponi $V$ da $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V \cdot 1}{θ}$

Passaggio 6.1.2.2.4

Scomponi $V$ da $V \cdot V + V \cdot 1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V (V + 1)}{θ}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{θ}$

Passaggio 6.1.4

Elimina il fattore comune di $V (V + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{θ}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $V (V + 1)$ .

$\frac{1 (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $V + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.5.1.2

Dividi $A (V + 1)$ per $1$ .

$1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $V + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.1.5.4.2

Dividi $(B) (V)$ per $1$ .

$1 = A V + A + (B) (V)$

$1 = A V + A + B V$

Passaggio 6.2.2.1.1.6

Sposta $A$ .

$1 = A V + B V + A$

Passaggio 6.2.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $V$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $V$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 6.2.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1$

Passaggio 6.2.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- 1}{V + 1}$

Passaggio 6.2.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{V} - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{V}$ rispetto a $V$ è $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $V$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2.5

Sia $u = V + 1$ . Allora $d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Sia $u = V + 1$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1.1

Differenzia $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Passaggio 6.2.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $V + 1$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 6.2.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 6.2.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $1$ rispetto a $V$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2.7

Semplifica.

$\ln (| V |) - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2.8

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V |}{| u |}) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.2.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $V + 1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{θ}$ rispetto a $θ$ è $\ln (| θ |)$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) + C_{3} = \ln (| θ |) + C_{4}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) = \ln (| θ |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) - \ln (| θ |) = C$

Passaggio 6.3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| V |}{| V + 1 |}}{| θ |}) = C$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |} \cdot \frac{1}{| θ |}) = C$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $\frac{| V |}{| V + 1 |} \cdot \frac{1}{| θ |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Moltiplica $\frac{| V |}{| V + 1 |}$ per $\frac{1}{| θ |}$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 | | θ |}) = C$

Passaggio 6.3.4.2

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (\frac{| V |}{| (V + 1) θ |}) = C$

Passaggio 6.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{| V |}{| V θ + 1 θ |}) = C$

Passaggio 6.3.5.2

Moltiplica $θ$ per $1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V θ + θ |}) = C$

Passaggio 6.3.5.3

Scomponi $θ$ da $V θ + θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.3.1

Scomponi $θ$ da $V θ$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ |}) = C$

Passaggio 6.3.5.3.2

Eleva $θ$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ |}) = C$

Passaggio 6.3.5.3.3

Scomponi $θ$ da $θ^{1}$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ \cdot 1 |}) = C$

Passaggio 6.3.5.3.4

Scomponi $θ$ da $θ V + θ \cdot 1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |}) = C$

Passaggio 6.3.6

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |})} = e^{C}$

Passaggio 6.3.7

Riscrivi $\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V |}{| θ (V + 1) |}$

Passaggio 6.3.8

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} = e^{C}$

Passaggio 6.3.8.2

Moltiplica ogni lato per $| θ (V + 1) |$ .

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} | θ (V + 1) | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Passaggio 6.3.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $| θ (V + 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} | θ (V + 1) | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Passaggio 6.3.8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| V | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Passaggio 6.3.8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.3.2.1

Semplifica $e^{C} | θ (V + 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$| V | = e^{C} | θ V + θ \cdot 1 |$

Passaggio 6.3.8.3.2.1.2

Moltiplica $θ$ per $1$ .

$| V | = e^{C} | θ V + θ |$

Passaggio 6.3.8.4

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.1

Riscrivi l'equazione come $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ .

$e^{C} | θ V + θ | = | V |$

Passaggio 6.3.8.4.2

Dividi per $e^{C}$ ciascun termine in $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.2.1

Dividi per $e^{C}$ ciascun termine in $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ .

$\frac{e^{C} | θ V + θ |}{e^{C}} = \frac{| V |}{e^{C}}$

Passaggio 6.3.8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{C} | θ V + θ |}{e^{C}} = \frac{| V |}{e^{C}}$

Passaggio 6.3.8.4.2.2.1.2

Dividi $| θ V + θ |$ per $1$ .

$| θ V + θ | = \frac{| V |}{e^{C}}$

Passaggio 6.3.8.4.3

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$

$θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$

$- (θ V + θ) = \frac{V}{e^{C}}$

$- (θ V + θ) = - \frac{V}{e^{C}}$

Passaggio 6.3.8.4.4

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$

$θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$

Passaggio 6.3.8.4.5

Risolvi $θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$ per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.1

Moltiplica ogni lato per $e^{C}$ .

$(θ V + θ) e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.2.1.1

Semplifica $(θ V + θ) e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$θ V e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.5.2.1.1.2

Riordina $θ$ e $V$ .

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = V$

Passaggio 6.3.8.4.5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.3.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$V θ e^{C} + θ e^{C} - V = 0$

Passaggio 6.3.8.4.5.3.2

Sottrai $θ e^{C}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$V θ e^{C} - V = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.5.3.3

Scomponi $V$ da $V θ e^{C} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.3.3.1

Scomponi $V$ da $V θ e^{C}$ .

$V (θ e^{C}) - V = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.5.3.3.2

Scomponi $V$ da $- V$ .

$V (θ e^{C}) + V \cdot - 1 = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.5.3.3.3

Scomponi $V$ da $V (θ e^{C}) + V \cdot - 1$ .

$V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.5.3.4

Dividi per $θ e^{C} - 1$ ciascun termine in $V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.3.4.1

Dividi per $θ e^{C} - 1$ ciascun termine in $V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$ .

$\frac{V (θ e^{C} - 1)}{θ e^{C} - 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Passaggio 6.3.8.4.5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $θ e^{C} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V (θ e^{C} - 1)}{θ e^{C} - 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Passaggio 6.3.8.4.5.3.4.2.1.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Passaggio 6.3.8.4.5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.5.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Passaggio 6.3.8.4.6

Risolvi $θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$ per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.1

Moltiplica ogni lato per $e^{C}$ .

$(θ V + θ) e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.2.1.1

Semplifica $(θ V + θ) e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$θ V e^{C} + θ e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.2.1.1.2

Riordina $θ$ e $V$ .

$V θ e^{C} + θ e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{V}{e^{C}}$ nel numeratore.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{- V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{- V}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = - V$

Passaggio 6.3.8.4.6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.3.1

Somma $V$ a entrambi i lati dell'equazione.

$V θ e^{C} + θ e^{C} + V = 0$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.2

Sottrai $θ e^{C}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$V θ e^{C} + V = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.3

Scomponi $V$ da $V θ e^{C} + V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.3.3.1

Scomponi $V$ da $V θ e^{C}$ .

$V (θ e^{C}) + V = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.3.2

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$V (θ e^{C}) + V = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.3.3

Scomponi $V$ da $V^{1}$ .

$V (θ e^{C}) + V \cdot 1 = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.3.4

Scomponi $V$ da $V (θ e^{C}) + V \cdot 1$ .

$V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.4

Dividi per $θ e^{C} + 1$ ciascun termine in $V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.3.4.1

Dividi per $θ e^{C} + 1$ ciascun termine in $V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$ .

$\frac{V (θ e^{C} + 1)}{θ e^{C} + 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $θ e^{C} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V (θ e^{C} + 1)}{θ e^{C} + 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.4.2.1.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Passaggio 6.3.8.4.6.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.6.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Passaggio 6.3.8.4.7

Elenca tutte le soluzioni.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{r}{θ}$ a $V$ .

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}, - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}$ per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi.

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

Passaggio 8.2

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$r (θ C - 1) = θ (- θ C)$

Passaggio 8.3

Risolvi l'equazione per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $θ$ alla potenza di $1$ .

$r (θ C - 1) = - (θ^{1} θ) C$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $θ$ alla potenza di $1$ .

$r (θ C - 1) = - (θ^{1} θ^{1}) C$

Passaggio 8.3.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$r (θ C - 1) = - θ^{1 + 1} C$

Passaggio 8.3.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$r (θ C - 1) = - θ^{2} C$

Passaggio 8.3.2

Dividi per $θ C - 1$ ciascun termine in $r (θ C - 1) = - θ^{2} C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Dividi per $θ C - 1$ ciascun termine in $r (θ C - 1) = - θ^{2} C$ .

$\frac{r (θ C - 1)}{θ C - 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Passaggio 8.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $θ C - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r (θ C - 1)}{θ C - 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Passaggio 8.3.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Passaggio 8.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C - 1}$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C + 1}$ per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi.

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Passaggio 9.2

$r (θ C + 1) = θ (- θ C)$

Passaggio 9.3

Risolvi l'equazione per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Eleva $θ$ alla potenza di $1$ .

$r (θ C + 1) = - (θ^{1} θ) C$

Passaggio 9.3.1.2

Eleva $θ$ alla potenza di $1$ .

$r (θ C + 1) = - (θ^{1} θ^{1}) C$

Passaggio 9.3.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$r (θ C + 1) = - θ^{1 + 1} C$

Passaggio 9.3.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$r (θ C + 1) = - θ^{2} C$

Passaggio 9.3.2

Dividi per $θ C + 1$ ciascun termine in $r (θ C + 1) = - θ^{2} C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Dividi per $θ C + 1$ ciascun termine in $r (θ C + 1) = - θ^{2} C$ .

$\frac{r (θ C + 1)}{θ C + 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Passaggio 9.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $θ C + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r (θ C + 1)}{θ C + 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Passaggio 9.3.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Passaggio 9.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C + 1}$

Passaggio 10

Elenca le soluzioni.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C - 1}, r = - \frac{θ^{2} C}{θ C + 1}$