Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.6.1.2

Dividi $(A) (x - 1)$ per $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.6.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.6.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.6.5.2

Dividi $(B) (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.6.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Passaggio 2.3.1.1.7

Sposta $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Passaggio 2.3.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 1 A + B$ con $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (- B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.2

Somma $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 2.3.1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.3.1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.5.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 2.3.8

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2.3.8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.8.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arctan (y) = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

$\ln (| x + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Passaggio 3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| x - 1 |)$ .

$\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$ per $2$ .

$\arctan (y) \cdot 2 = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\arctan (y)$ .

$2 \arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2}$ nel numeratore.

$2 \arctan (y) = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \arctan (y) = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.3.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| x + 1 |) - \ln (| x - 1 |) = - 2 \arctan (y) + 2 C$

Passaggio 3.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) = - 2 \arctan (y) + 2 C$

Passaggio 3.5

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 2 \arctan (y) + 2 C = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$

Passaggio 3.6

Sottrai $2 C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$

Passaggio 3.7

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$ .

$\frac{- 2 \arctan (y)}{- 2} = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \arctan (y)}{- 2} = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Dividi $\arctan (y)$ per $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.7.3.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2}$ come $\frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$ spostando $- \frac{1}{- 2}$ all'interno del logaritmo.

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{- \frac{1}{- 2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{- - \frac{1}{2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.3.1.4

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 3.7.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{1 (\frac{1}{2})}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.3.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.3.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}$ .

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.3.1.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 3.7.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Passaggio 3.7.3.1.6.2

Dividi $C$ per $1$ .

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 3.8

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (- \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + C)$