Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

$3$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $3$ da $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $3$ da $\frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $3$ da $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $4$ alla sinistra di $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

Passaggio 3.4.5

$3$ e $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.8.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 3.4.8.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.8.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.8.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.8.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.8.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 3.4.8.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 3.4.9.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 3.4.9.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 3.4.9.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.9.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.4.9.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.9.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

Passaggio 3.4.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.10.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.10.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $2$ e $y$ con $\sqrt[3]{15}$ in $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ .

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt[3]{15}$ .

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

Passaggio 6.4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ come ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Semplifica ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Passaggio 6.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Passaggio 6.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Passaggio 6.4.2.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.3.1

Moltiplica $6$ per $16$ .

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Passaggio 6.4.2.2.1.3.2

Semplifica.

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Semplifica ${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt[3]{15}$ .

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Passaggio 6.4.2.3.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Passaggio 6.4.2.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{15}$ come $15^{\frac{1}{3}}$ .

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 6.4.2.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 6.4.2.3.1.2.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Passaggio 6.4.2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Passaggio 6.4.2.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

Passaggio 6.4.2.3.1.2.5

Calcola l'esponente.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

Passaggio 6.4.2.3.1.3

Moltiplica $8$ per $15$ .

$96 + 6 K = 120$

Passaggio 6.4.3

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1

Sottrai $96$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 K = 120 - 96$

Passaggio 6.4.3.1.2

Sottrai $96$ da $120$ .

$6 K = 24$

Passaggio 6.4.3.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 K = 24$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 K = 24$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Passaggio 6.4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Passaggio 6.4.3.2.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{24}{6}$

Passaggio 6.4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.3.1

Dividi $24$ per $6$ .

$K = 4$

Passaggio 7

Sostituisci $4$ a $K$ in $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $4$ a $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$