Calcolo Esempi

$\frac{d M}{d t} + \frac{M}{37.5} = 4$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d M}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d M}{d t} + \frac{1 M}{37.5} = 4$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $37.5$ da $37.5$ .

$\frac{d M}{d t} + \frac{1 M}{37.5 (1)} = 4$

Passaggio 1.1.1.3

Frazioni separate.

$\frac{d M}{d t} + \frac{1}{37.5} \cdot \frac{M}{1} = 4$

Passaggio 1.1.1.4

Dividi $1$ per $37.5$ .

$\frac{d M}{d t} + 0.02\overline{6} \frac{M}{1} = 4$

Passaggio 1.1.1.5

Dividi $M$ per $1$ .

$\frac{d M}{d t} + 0.02\overline{6} M = 4$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $0.02\overline{6} M$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d M}{d t} = 4 - 0.02\overline{6} M$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M}$ .

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} (4 - 0.02\overline{6} M)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $4 - 0.02\overline{6} M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} (4 - 0.02\overline{6} M)$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} d M = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} d M = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 4 - 0.02\overline{6} M$ . Allora $d u = - 0.02\overline{6} d M$ , quindi $\frac{1}{- 0.02\overline{6}} d u = d M$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 4 - 0.02\overline{6} M$ . Trova $\frac{d u}{d M}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $4 - 0.02\overline{6} M$ .

$\frac{d}{d M} [4 - 0.02\overline{6} M]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 0.02\overline{6} M$ rispetto a $M$ è $\frac{d}{d M} [4] + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$ .

$\frac{d}{d M} [4] + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $M$ , la derivata di $4$ rispetto a $M$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 0.02\overline{6}$ è costante rispetto a $M$ , la derivata di $- 0.02\overline{6} M$ rispetto a $M$ è $- 0.02\overline{6} \frac{d}{d M} [M]$ .

$0 - 0.02\overline{6} \frac{d}{d M} [M]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ è $n M^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 0.02\overline{6} \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 0.02\overline{6}$ per $1$ .

$0 - 0.02\overline{6}$

Passaggio 2.2.1.1.4

Sottrai $0.02\overline{6}$ da $0$ .

$- 0.02\overline{6}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.02\overline{6}} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.02\overline{6}}) d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.02\overline{6}} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $0.02\overline{6}$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{0.02\overline{6} u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{0.02\overline{6} u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{0.02\overline{6}} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.02\overline{6}} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $- \frac{1}{0.02\overline{6}} (\ln (| u |) + C_{1})$ come $- 1 \cdot 37.5 \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 37.5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $37.5$ .

$- 37.5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - 0.02\overline{6} M$ .

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 37.5$ ciascun termine in $- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 37.5$ ciascun termine in $- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$ .

$\frac{- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)}{- 37.5} = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 37.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)}{- 37.5} = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)$ per $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{t}{37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{1 t}{37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Scomponi $37.5$ da $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{1 t}{37.5 (1)} + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Frazioni separate.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (\frac{1}{37.5} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Dividi $1$ per $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (0.02\overline{6} \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.6

Dividi $t$ per $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (0.02\overline{6} t) + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.7

Moltiplica $0.02\overline{6}$ per $- 1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t + \frac{C}{- 37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{C}{37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.9

Moltiplica per $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{1 C}{37.5}$

Passaggio 3.1.3.1.10

Scomponi $37.5$ da $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{1 C}{37.5 (1)}$

Passaggio 3.1.3.1.11

Frazioni separate.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (\frac{1}{37.5} \cdot \frac{C}{1})$

Passaggio 3.1.3.1.12

Dividi $1$ per $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (0.02\overline{6} \frac{C}{1})$

Passaggio 3.1.3.1.13

Dividi $C$ per $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (0.02\overline{6} C)$

Passaggio 3.1.3.1.14

Moltiplica $0.02\overline{6}$ per $- 1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $M$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)} = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} = | 4 - 0.02\overline{6} M |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 4 - 0.02\overline{6} M | = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$ .

$| 4 - 0.02\overline{6} M | = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$4 - 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 0.02\overline{6}$ ciascun termine in $- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 0.02\overline{6}$ ciascun termine in $- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$ .

$\frac{- 0.02\overline{6} M}{- 0.02\overline{6}} = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 0.02\overline{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.02\overline{6} M}{- 0.02\overline{6}} = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $M$ per $1$ .

$M = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}}$ .

$M = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$M = \frac{1 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C})}{0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Scomponi $0.02\overline{6}$ da $0.02\overline{6}$ .

$M = \frac{1 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C})}{0.02\overline{6} (1)} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.3.1.4

Frazioni separate.

$M = \frac{1}{0.02\overline{6}} \cdot \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{1} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.3.1.5

Dividi $1$ per $0.02\overline{6}$ .

$M = 37.5 \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{1} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.3.1.6

Dividi $\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$ per $1$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}) + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Passaggio 3.4.4.3.1.7

Dividi $- 4$ per $- 0.02\overline{6}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}) + 150$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t + C}) + 150$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- 0.02\overline{6} t + C}$ come $e^{- 0.02\overline{6} t} e^{C}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t} e^{C}) + 150$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- 0.02\overline{6} t}$ e $e^{C}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{C} e^{- 0.02\overline{6} t}) + 150$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$M = 37.5 (C e^{- 0.02\overline{6} t}) + 150$