Calcolo Esempi

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Sia $v = \frac{d y}{d x}$ . Allora $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sostituisci $v$ a $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ a $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ per ottenere un'equazione differenziale con una variabile dipendente $v$ e una variabile indipendente $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

Passaggio 2

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x v$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $\frac{d v}{d x}$ a $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Passaggio 2.5

Riordina $v$ e $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Passaggio 2.6

Moltiplica $v$ per $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$x v = \int 0 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

Passaggio 7

Dividi per $x$ ciascun termine in $x v = C_{1}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x v = C_{1}$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

Passaggio 9

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

Passaggio 10

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Passaggio 10.2

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Passaggio 10.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 10.3.1

Poiché $C_{1}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $C_{1}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 10.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 10.3.3

Semplifica.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 10.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = C \ln (| x |) + D$