Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 5}{5 x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y - 5}$ .

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y - 5} d y = \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y - 5} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y - 5$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y - 5$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [y - 5]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 5$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 5$ .

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y - 5 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

$\frac{1}{5}$ e $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 5 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y - 5 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\ln (| y - 5 |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 5 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.4.1

$\ln (| y - 5 |)$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

Passaggio 3.5

Sposta $5$ alla sinistra di $\ln (| y - 5 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

Passaggio 3.6

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica $\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

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Passaggio 3.6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1.1.1

Semplifica $5 \ln (| y - 5 |)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| y - 5 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

Passaggio 3.6.1.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

Passaggio 3.6.1.2

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5}$ come $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}) = C$

Passaggio 3.6.1.3

Semplifica $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ spostando $\frac{1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

Passaggio 3.6.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Passaggio 3.6.1.5.2

Semplifica.

$\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Passaggio 3.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 3.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica ogni lato per ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 3.9.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

Elimina il fattore comune di ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 3.9.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y - 5 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 3.9.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y - 5 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 3.9.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$