Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 1.3

Scomponi $y$ da $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2.4

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.3

Combina.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \frac{1}{x^{2}}}{x \cdot x}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \frac{1}{x^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.7

Combina.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.8.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Passaggio 3.8.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{4}}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1.1

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int x^{- 4} d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{3} x^{- 3} + C$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} x^{- 3} + C$ come $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{x^{3} \cdot 3} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Somma $\frac{1}{3 x^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x} y + \frac{1}{3 x^{3}} = C$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x} y + \frac{1}{3 x^{3}} - C = 0$

Passaggio 8.1.3

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $\frac{1}{3 x^{3}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{1}{3 x^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) x$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) x$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) x$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(- \frac{1}{3 x^{3}} + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{3 x^{3}} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3 x^{3}}$ nel numeratore.

$y = \frac{- 1}{3 x^{3}} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Scomponi $x$ da $3 x^{3}$ .

$y = \frac{- 1}{x (3 x^{2})} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 1}{x (3 x^{2})} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 1}{3 x^{2}} + C x$

Passaggio 8.4.2.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{3 x^{2}} + C x$

Passaggio 8.4.2.1.3.2

Riordina $- \frac{1}{3 x^{2}}$ e $C x$ .

$y = C x - \frac{1}{3 x^{2}}$