Calcolo Esempi

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $1 + \sin^{2} (x)$ ciascun termine in $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $1 + \sin^{2} (x)$ ciascun termine in $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ .

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + \sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- 2 y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{2 y}$ per $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u_{1} = 2 y$ . Allora $d u_{1} = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u_{1} = 2 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.3

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Allora $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2.3.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Somma $0$ e $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Riordina i fattori di $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.3.1.1.4.3

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 2.3.1.1.4.4

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2.3.1.1.4.5

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x)$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{2 y})$ spostando $2 y$ fuori dal logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Passaggio 3.5

Espandi $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

Passaggio 3.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ .

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ .

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

Passaggio 6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.1.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.1.1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.1.1.3

Somma $0$ e $C$ .

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\ln (C) = 2$

Passaggio 6.4

Per risolvere per $C$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

Passaggio 6.5

Riscrivi $\ln (C) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = C$

Passaggio 6.6

Riscrivi l'equazione come $C = e^{2}$ .

$C = e^{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $e^{2}$ a $C$ in $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $e^{2}$ a $C$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.4

Semplifica $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$