Calcolo Esempi

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x^{2} \sin (x) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2} \sin (x)$ .

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

Passaggio 4.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Passaggio 4.3.4.2

Moltiplica $\int \cos (x) d x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Riscrivi $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ come $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $- (- x \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

Passaggio 5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Passaggio 5.4

Scomponi $2$ da $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $2$ da $2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $2$ da $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $2$ da $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Passaggio 5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$