Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 6.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 6.1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 6.2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Passaggio 6.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

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Passaggio 6.5.1

Semplifica.

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Passaggio 6.5.2

$\frac{1}{3}$ e $\cos (u)$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

Passaggio 6.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Passaggio 6.7

Riordina i termini.

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Passaggio 7

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

$\cos (3 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.4

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$