Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $4 x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

Passaggio 2.3.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

Passaggio 2.3.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 4 + x (- x)$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

Passaggio 2.3.1.1.1.4

Moltiplica $x$ per $4 - x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (4 - x)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.5

Elimina il fattore comune di $4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.5.2

Dividi $1 - 2 x$ per $1$ .

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.6

Riordina $1$ e $- 2 x$ .

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.7.1.2

Dividi $A (4 - x)$ per $1$ .

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.7.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.7.5

Elimina il fattore comune di $4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.1.7.5.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

Passaggio 2.3.1.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.8.1

Sposta $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Passaggio 2.3.1.1.8.2

Riordina $B$ e $x$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Passaggio 2.3.1.1.8.3

Sposta $4 A$ .

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

Passaggio 2.3.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 2 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 4 A$

Passaggio 2.3.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

Passaggio 2.3.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 2 = - 1 A + B$ con $\frac{1}{4}$ .

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{4})$ come $- (\frac{1}{4})$ .

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.3

Risolvi per $B$ in $- 2 = - \frac{1}{4} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{4} + B = - 2$ .

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.2.1

Somma $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.3

$- 2$ e $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.5.2

Somma $- 8$ e $1$ .

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{4 - x}$ per $\frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

Passaggio 2.3.1.5.5

Sposta $4$ alla sinistra di $4 - x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{7}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{7}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

Passaggio 2.3.7

Sia $u = 4 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sia $u = 4 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.7.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.10.2

Moltiplica $\frac{7}{4}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$