Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V + \cos^{2} (V) - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

Passaggio 5.1.1.1.2.2

Somma $0$ e $\cos^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Combina.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ a $\sec^{2} (V)$ .

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Poiché la derivata di $\tan (V)$ è $\sec^{2} (V)$ , l'integrale di $\sec^{2} (V)$ è $\tan (V)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 5.3

Trova il valore dell'incognita $V$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riordina i fattori in $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$