Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = 14$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $t$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 3 t^{2} - 1$ . Allora $d u = 6 t d t$ , quindi $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 3 t^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t^{2} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t^{2}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$6 t + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $6 t$ e $0$ .

$6 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Passaggio 2.3.3

$u^{3}$ e $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{6}$ e $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{6} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $1$ e $s$ con $14$ in $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ .

$14 = \frac{1}{2} {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = 14$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + K = 14$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Scomponi $2$ da $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Passaggio 4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2^{3} + K = 14$

Passaggio 4.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 + K = 14$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 14 - 8$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $8$ da $14$ .

$K = 6$

Passaggio 5

Sostituisci $6$ a $K$ in $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $6$ a $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + 6$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa il teorema binomiale.

$s = \frac{1}{2} ({(3 t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (3^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{2 \cdot 4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.4

Applica la regola del prodotto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (3^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{6}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.7

Moltiplica $27$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 108 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.8

Moltiplica $- 1$ per $108$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.9

Applica la regola del prodotto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (3^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.11

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.11.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.12

Moltiplica $9$ per $6$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} \cdot 1 + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.14

Moltiplica $54$ per $1$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.15

Moltiplica $3$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.16

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.17

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Passaggio 5.2.2.18

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + 1) + 6$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2} (81 t^{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

$81$ e $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{81}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.1.2

$\frac{81}{2}$ e $t^{8}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 108 t^{6}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Scomponi $2$ da $54 t^{4}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $- 12 t^{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6$

Passaggio 5.3

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.4

$6$ e $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 12}{2}$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ e $12$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{13}{2}$