Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 x + 5$ , $y (- 1) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (9 x^{2} - 4 x + 5) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$y + C_{1} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $- 1$ e $y$ con $0$ in $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ .

$0 = 3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$ .

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 3 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 3 - 2 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 3 - 2 - 5 + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$- 5 - 5 + K = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $5$ da $- 5$ .

$- 10 + K = 0$

Passaggio 4.3

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 10$

Passaggio 5

Sostituisci $10$ a $K$ in $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $10$ a $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 10$