Calcolo Esempi

$\frac{x^{3} - 5 y}{x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{x^{3} - 5 y}{x}$ in due frazioni.

$\frac{x^{3}}{x} + \frac{- 5 y}{x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $\frac{x^{3}}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{- 5 y}{x} + \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{x}$

Passaggio 1.1.3

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = - \frac{x^{3}}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $\frac{- 5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 5}{x} = - \frac{x^{3}}{x}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5}{x} y = - \frac{x^{3}}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 5}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 5}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 5}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 5}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{5}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.2.4

$\frac{5}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{5 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.2.5.2.2

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{x^{3}}{x}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{5}}$ nel numeratore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{5}} \cdot \frac{x^{3}}{x}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{3} x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x}$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{3} x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x}$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{- 1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{2} x}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{2} x^{1}}$

Passaggio 3.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{2 + 1}}$

Passaggio 3.6.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{3}}$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = - \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] = - \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] d x = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{5}} y = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \int x^{- 3} d x$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Passaggio 7.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 7.4.1.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Passaggio 7.4.2

Semplifica.

$\frac{1}{x^{5}} y = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 7.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 7.4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Sottrai $\frac{1}{2 x^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{5}} y - \frac{1}{2 x^{2}} = C$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{5}} y - \frac{1}{2 x^{2}} - C = 0$

Passaggio 8.1.3

$\frac{1}{x^{5}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{5}} - \frac{1}{2 x^{2}} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $\frac{1}{2 x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{5}} - C = \frac{1}{2 x^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{5}} = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{5}$ .

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (\frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (\frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(\frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$y = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{5}$ .

$y = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Passaggio 8.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Passaggio 8.4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{2} x^{3} + C x^{5}$

Passaggio 8.4.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x^{5}$

Passaggio 8.4.2.1.4

Riordina $\frac{x^{3}}{2}$ e $C x^{5}$ .

$y = C x^{5} + \frac{x^{3}}{2}$