Calcolo Esempi

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $x \ln (x)$ ciascun termine in $x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$ .

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 1.5

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 1.6

Riordina $y$ e $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x \ln (x)} y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x \ln (x)} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.2.1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$e^{\ln (| \ln (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (\ln (x))}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\ln (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\ln (x)$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) (\frac{1}{x \ln (x)} y) = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x \ln (x)}$ e $y$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{x \ln (x)} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $\ln (x)$ da $x \ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] = e^{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\ln (x) y] d x = \int e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\ln (x) y = \int e^{x} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\ln (x) y = e^{x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $\ln (x)$ ciascun termine in $\ln (x) y = e^{x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $\ln (x)$ ciascun termine in $\ln (x) y = e^{x} + C$ .

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$