Calcolo Esempi

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Sia $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2} + y^{2}$ con $v_{1}$ .

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v_{1}}{d x}$ differenziando $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

Passaggio 3

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

Passaggio 4

Sia $v_{2} = e^{v_{1}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{v_{1}}$ con $v_{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

Passaggio 5

Trova $\frac{d v_{2}}{d x}$ differenziando $e^{v_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = v_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Passaggio 5.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ come $v_{1}'$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

Passaggio 6

Sostituisci $v_{2}$ a $e^{v_{1}}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

Passaggio 7

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

Passaggio 8

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica ogni lato per $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1

Semplifica $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 v_{2} x$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v_{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2.1.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2.1.1.4.2

Riordina $\frac{d v}{d x}$ e $- 2 v_{2} x$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

Passaggio 8.1.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.2.1

Semplifica $v (2 v x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

Passaggio 8.1.2.2.1.2

Moltiplica $v_{2}$ per $v_{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.2.1.2.1

Sposta $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

Passaggio 8.1.2.2.1.2.2

Moltiplica $v_{2}$ per $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

Passaggio 8.1.3

Somma $2 v_{2} x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

Passaggio 8.2

Scomponi $2 v_{2} x$ da $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2 v_{2} x$ da $2 {v_{2}}^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

Passaggio 8.2.2

Scomponi $2 v_{2} x$ da $2 v_{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

Passaggio 8.2.3

Scomponi $2 v_{2} x$ da $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Passaggio 8.4.2

$2$ e $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Passaggio 8.4.3

Elimina il fattore comune di $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.1

Scomponi $v_{2} (v_{2} + 1)$ da $v_{2} x (v_{2} + 1)$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

Passaggio 8.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

Passaggio 8.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Passaggio 8.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

Passaggio 9

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

Passaggio 9.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $v_{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $v_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.5.1.2

Dividi $A (v_{2} + 1)$ per $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $v_{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.1.5.4.2

Dividi $B v_{2}$ per $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Passaggio 9.2.1.1.6

Sposta $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Passaggio 9.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v_{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 9.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v_{2}$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 9.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 9.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 9.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Passaggio 9.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 9.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Passaggio 9.2.1.3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 9.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1$

Passaggio 9.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1$

Passaggio 9.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Passaggio 9.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Passaggio 9.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Passaggio 9.2.3

L'integrale di $\frac{1}{v_{2}}$ rispetto a $v_{2}$ è $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Passaggio 9.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Passaggio 9.2.5

Sia $u_{3} = v_{2} + 1$ . Allora $d u_{3} = d v_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Sia $u_{3} = v_{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1.1

Differenzia $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

Passaggio 9.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v_{2} + 1$ rispetto a $v_{2}$ è $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Passaggio 9.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ è $n {v_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Passaggio 9.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $v_{2}$ , la derivata di $1$ rispetto a $v_{2}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 9.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Passaggio 9.2.7

Semplifica.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 9.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Passaggio 9.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 9.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 9.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 9.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 9.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 9.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Passaggio 9.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

Passaggio 10

Risolvi per $v_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

Passaggio 10.2

Per risolvere per $v_{2}$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

Passaggio 10.3

Riscrivi $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

Passaggio 10.4

Risolvi per $v_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica ogni lato per $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Passaggio 10.4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1

Elimina il fattore comune di $| u_{3} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Passaggio 10.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Passaggio 10.4.4

Risolvi per $v_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.4.1

Riordina i fattori in $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ .

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Passaggio 10.4.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Passaggio 11

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi $e^{x^{2} + C}$ come $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Passaggio 11.2

Riordina $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Passaggio 11.3

Combina costanti con il più o il meno.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $v_{2}$ con $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Passaggio 13

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Passaggio 13.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Espandi $\ln (e^{v_{1}})$ spostando $v_{1}$ fuori dal logaritmo.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Passaggio 13.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica $v_{1}$ per $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Passaggio 13.3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Riscrivi $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ come $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Passaggio 13.3.2

Riscrivi $\ln (C | u_{3} |)$ come $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Passaggio 13.3.3

Espandi $\ln (e^{x^{2}})$ spostando $x^{2}$ fuori dal logaritmo.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

Passaggio 13.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 13.3.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

Passaggio 13.4

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $v_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Passaggio 15

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

Passaggio 15.1.2

Combina i termini opposti in $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

Passaggio 15.1.2.2

Somma $\ln (C | u_{3} |)$ e $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

Passaggio 15.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Passaggio 15.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Passaggio 15.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Passaggio 15.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Passaggio 16

Poiché $y$ è non negativa nella condizione iniziale $(0, 0)$ , considera solo $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ per calcolare $C$ . Sostituisci $0$ a $x$ e $0$ a $y$ .

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Passaggio 17

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ .

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

Passaggio 17.2

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 17.2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ come ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 17.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.2.1

Semplifica ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 17.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 17.2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Passaggio 17.2.2.2.1.2

Semplifica.

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Passaggio 17.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

Passaggio 17.2.3

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

Per risolvere per $C$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

Passaggio 17.2.3.2

Riscrivi $\ln (C | u_{3} |) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{3} |$

Passaggio 17.2.3.3

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $C | u_{3} | = e^{0}$ .

$C | u_{3} | = e^{0}$

Passaggio 17.2.3.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C | u_{3} | = 1$

Passaggio 17.2.3.3.3

Dividi per $| u_{3} |$ ciascun termine in $C | u_{3} | = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.3.3.1

Dividi per $| u_{3} |$ ciascun termine in $C | u_{3} | = 1$ .

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Passaggio 17.2.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $| u_{3} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Passaggio 17.2.3.3.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

Passaggio 18

Sostituisci $\frac{1}{| u_{3} |}$ a $C$ in $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci $\frac{1}{| u_{3} |}$ a $C$ .

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Passaggio 18.2

Elimina il fattore comune di $| u_{3} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Passaggio 18.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

Passaggio 18.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Passaggio 18.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 18.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 0$