Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = x + K$

Passaggio 3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (x + K)$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $0$ in $y = \tan (x + K)$ .

$0 = \tan (1 + K)$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\tan (1 + K) = 0$ .

$\tan (1 + K) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $K$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$1 + K = \arctan (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$1 + K = 0$

Passaggio 5.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 1$

Passaggio 5.5

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$1 + K = π + 0$

Passaggio 5.6

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 5.6.1

Somma $π$ e $0$ .

$1 + K = π$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = π - 1$

Passaggio 5.7

Trova il periodo di $\tan (1 + K)$ .

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Passaggio 5.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.7.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.8

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 5.8.1

Somma $π$ a $- 1$ per trovare l'angolo positivo.

$- 1 + π$

Passaggio 5.8.2

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$K = - 1 + π$

Passaggio 5.9

Il periodo della funzione $\tan (1 + K)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.10

Combina $- 1 + π + π n$ e $π - 1 + π + π n$ in $- 1 + π + π n$ .

$K = - 1 + π + π n$

Passaggio 6

Sostituisci $- 1 + π + π n$ a $K$ in $y = \tan (x + K)$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Sostituisci $- 1 + π + π n$ a $K$ .

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$