Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 1 - x + 4 y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = 1 - x$

Passaggio 1.2

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = - x + 1$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 4 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- 4 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 4 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot 1$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $e^{- 4 x}$ per $1$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = - \int x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.4.2

$x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.4.3

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ per $1$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.8

Sia $u_{1} = - 4 x$ . Allora $d u_{1} = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Sia $u_{1} = - 4 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 7.8.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 7.8.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 7.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.9.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1})) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.11

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.12.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.13

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.14

Sia $u_{2} = - 4 x$ . Allora $d u_{2} = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.14.1

Sia $u_{2} = - 4 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.14.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 7.14.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.14.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 7.14.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 7.14.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Passaggio 7.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Passaggio 7.15.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Passaggio 7.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Passaggio 7.17

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 7.18

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 7.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.19.1

Semplifica.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.19.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.19.2.1

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.19.2.2

$e^{- 4 x}$ e $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.19.2.3

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u_{1}}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.20

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.20.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.20.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Passaggio 7.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 4 x} y = - - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Passaggio 7.21.2

Moltiplica $- - \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.21.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = 1 \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Passaggio 7.21.2.2

Moltiplica $\frac{e^{- 4 x} x}{4}$ per $1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Passaggio 7.21.3

Moltiplica $- - \frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.21.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + 1 \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Passaggio 7.21.3.2

Moltiplica $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ per $1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Passaggio 7.21.4

Riordina i fattori in $\frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Passaggio 7.21.5

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C$

Passaggio 7.22

Riordina i termini.

$e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- 4 x}$ ciascun termine in $e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- 4 x}$ ciascun termine in $e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{\frac{x}{4} e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.2.2

$\frac{x}{4}$ e $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.2.3

$\frac{1}{16}$ e $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.2.4

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.3

Per scrivere $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Moltiplica $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.4.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.2.1.1

Scomponi $e^{- 4 x}$ da $e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.5.2.1.1.2

Scomponi $e^{- 4 x}$ da $- e^{- 4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.5.2.1.1.3

Scomponi $e^{- 4 x}$ da $e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.5.2.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.5.2.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- 3 \cdot e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Per scrivere $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.2.1

Moltiplica $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{16} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4 - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 \cdot (x e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.4.2

Scomponi $e^{- 4 x}$ da $4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.4.2.1

Scomponi $e^{- 4 x}$ da $4 x e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.4.2.2

Scomponi $e^{- 4 x}$ da $- 3 e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.4.2.3

Scomponi $e^{- 4 x}$ da $e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.5

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.6

$C$ e $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3) + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.8.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.8.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 \cdot e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.6.8.4

Sposta $16$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}$ per $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.3.9

Riordina i fattori in $\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$ .

$y = \frac{4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$