Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $- \frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $- \frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{2}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.4

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(x + 1)}^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{2}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x + 1}$ per $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = 1$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = 1$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = x + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = x + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riordina $x {(x + 1)}^{2}$ e $C {(x + 1)}^{2}$ .

$y = C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4

Semplifica $C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = C ((x + 1) (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = C (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y = C (x^{2} + x + x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$y = C (x^{2} + 2 x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = C (x^{2}) + C (2 x) + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.5.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.6

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x ((x + 1) (x + 1))$

Passaggio 8.4.1.7

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Passaggio 8.4.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Passaggio 8.4.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 8.4.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 8.4.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 8.4.1.8.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 8.4.1.8.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1)$

Passaggio 8.4.1.8.2

Somma $x$ e $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 8.4.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Passaggio 8.4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.10.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.10.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.10.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Passaggio 8.4.1.10.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Passaggio 8.4.1.10.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1$

Passaggio 8.4.1.10.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1$

Passaggio 8.4.1.10.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x$

Passaggio 8.4.1.11

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.11.1

Sposta $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 (x \cdot x) + x$

Passaggio 8.4.1.11.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x^{2} + x$

Passaggio 8.4.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Sposta $C$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + x^{3} + 2 x^{2} + C + x$

Passaggio 8.4.2.2

Sposta $2 C x$ .

$y = C x^{2} + x^{3} + 2 C x + 2 x^{2} + C + x$