Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $- \cos (t)$ .

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = t - \cos (t) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $\frac{π}{3}$ e $y$ con $\frac{1}{2}$ in $y = t - \cos (t) + K$ .

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

Passaggio 4.3.2

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

Passaggio 4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Dividi $2$ per $2$ .

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = 1 - \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $1 - \frac{π}{3}$ a $K$ in $y = t - \cos (t) + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $1 - \frac{π}{3}$ a $K$ .

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$