Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 4 - x$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 2 d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{- 2 x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

Passaggio 2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 \cdot e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (- x)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.3

Sia $u_{1} = - 2 x$ . Allora $d u_{1} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sia $u_{1} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 6.3.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.4.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

$\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.8.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 2 x} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.8.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.9

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - \int x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.11

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 6.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 6.12.2

$x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 6.12.3

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 6.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 6.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.14.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 6.14.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ per $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 6.15

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 6.16

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Allora $d u_{2} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.16.1

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.16.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 6.16.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.16.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 6.16.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 6.16.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2})$

Passaggio 6.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.17.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

Passaggio 6.17.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Passaggio 6.18

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}))$

Passaggio 6.19

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})))$

Passaggio 6.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.20.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 6.20.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 6.21

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

Passaggio 6.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.22.1

Semplifica.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Passaggio 6.22.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.22.2.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Passaggio 6.22.2.2

$e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Passaggio 6.22.2.3

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Passaggio 6.23

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.23.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Passaggio 6.23.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 6.24

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.24.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 6.24.2

Moltiplica $- - \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.24.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + 1 \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 6.24.2.2

Moltiplica $\frac{e^{- 2 x} x}{2}$ per $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 6.24.3

Moltiplica $- - \frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.24.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + 1 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 6.24.3.2

Moltiplica $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ per $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 6.24.4

Riordina i fattori in $\frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 6.25

Riordina i termini.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- 2 x}$ ciascun termine in $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- 2 x}$ ciascun termine in $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.2.2

$\frac{x}{2}$ e $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.2.3

$\frac{1}{4}$ e $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.3

Per scrivere $- 2 e^{- 2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - 2 e^{- 2 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.1

$- 2 e^{- 2 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.3.1.1

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.3.1.1.1

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4.3.1.1.2

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4.3.1.1.3

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 8 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4.3.1.3

Somma $- 8$ e $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4.3.2

Sposta $- 7$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 7 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1

Per scrivere $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.2.1

Moltiplica $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{- 2 x}) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.4.2

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.4.2.1

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $2 x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.4.2.2

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $- 7 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.4.2.3

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.5

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.6

$C$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.8.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.8.3

Sposta $- 7$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.5.8.4

Sposta $4$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ per $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Passaggio 7.3.8

Riordina i fattori in $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$