Calcolo Esempi

$x^{2} + y^{2} + x y y' = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$x^{2} + y^{2} + x y \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + x y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Passaggio 2.1.1.2

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$

Passaggio 2.1.2

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{x y}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 2.1.2.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{x}$

Passaggio 3

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - V^{- 1} - V$

Passaggio 4

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 5

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 6

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - V^{- 1} - V$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{1}{V} - V$

Passaggio 7.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - V - V$

Passaggio 7.1.1.2.2

Sottrai $V$ da $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$

Passaggio 7.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V} + \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V} - \frac{2 V}{x}$

Passaggio 7.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \frac{1}{x V} - \frac{2 V}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Riordina $- \frac{1}{x V}$ e $- \frac{2 V}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{x} - \frac{1}{x V}$

Passaggio 7.1.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{2 V}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - \frac{1}{x V}$

Passaggio 7.1.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- \frac{1}{x V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - (\frac{1}{x V})$

Passaggio 7.1.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (\frac{2 V}{x}) - (\frac{1}{x V})$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} + \frac{1}{x V})$

Passaggio 7.1.2.2

Per scrivere $\frac{2 V}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{x V})$

Passaggio 7.1.2.3

Moltiplica $\frac{2 V}{x}$ per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V \cdot V}{x V} + \frac{1}{x V})$

Passaggio 7.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V \cdot V + 1}{x V}$

Passaggio 7.1.2.5

Moltiplica $V$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.5.1

Sposta $V$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V) + 1}{x V}$

Passaggio 7.1.2.5.2

Moltiplica $V$ per $V$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{x V}$

Passaggio 7.1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{V}{2 V^{2} + 1}$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2 V^{2} + 1} (- \frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 7.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 V^{2} + 1} (\frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 7.1.5.2

Moltiplica $\frac{2 V^{2} + 1}{V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Passaggio 7.1.5.3

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{V}{2 V^{2} + 1}$ nel numeratore.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Passaggio 7.1.5.3.2

Scomponi $V$ da $- V$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Passaggio 7.1.5.3.3

Scomponi $V$ da $V x$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V (x)}$

Passaggio 7.1.5.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Passaggio 7.1.5.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Passaggio 7.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2 V^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Passaggio 7.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 7.1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{V}{2 V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sia $u = 2 V^{2} + 1$ . Allora $d u = 4 V d V$ , quindi $\frac{1}{4} d u = V d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Sia $u = 2 V^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Differenzia $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2} + 1]$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 V^{2} + 1$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 7.2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d V} [2 V^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $2 V^{2}$ rispetto a $V$ è $2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 7.2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 V) + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 7.2.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 V + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 7.2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $1$ rispetto a $V$ è $0$ .

$4 V + 0$

Passaggio 7.2.2.1.1.4.2

Somma $4 V$ e $0$ .

$4 V$

Passaggio 7.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 7.2.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 7.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 7.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |)) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 7.3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Semplifica $4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 7.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 7.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica $4 (- \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = 4 (- \ln (| x |)) + 4 C$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Passaggio 7.3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Passaggio 7.3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.1

Semplifica $\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.1.1.1

Semplifica $4 \ln (| x |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Passaggio 7.3.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Passaggio 7.3.4.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 | x^{4}) = 4 C$

Passaggio 7.3.4.1.3

Riordina i fattori in $\ln (| 2 V^{2} + 1 | x^{4})$ .

$\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |) = 4 C$

Passaggio 7.3.5

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |)} = e^{4 C}$

Passaggio 7.3.6

Riscrivi $\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |) = 4 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} | 2 V^{2} + 1 |$

Passaggio 7.3.7

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.1

Riscrivi l'equazione come $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ .

$x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$

Passaggio 7.3.7.2

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.2.1

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ .

$\frac{x^{4} | 2 V^{2} + 1 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} | 2 V^{2} + 1 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.7.2.2.1.2

Dividi $| 2 V^{2} + 1 |$ per $1$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.7.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$2 V^{2} + 1 = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.7.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$

Passaggio 7.3.7.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$ .

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.3.7.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.3.7.5.2.1.2

Dividi $V^{2}$ per $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.3.7.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.7.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.3.7.7

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}{2}}$

Passaggio 7.3.7.7.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.3.7.7.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.3.7.7.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.7.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.7.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 7.3.7.7.4.6.5

Calcola l'esponente.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.3.7.7.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 7.3.7.7.6

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1) \cdot 2}}{2}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Passaggio 7.4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 7.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{C}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Passaggio 7.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$ per $y$ .

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Passaggio 9.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Passaggio 9.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.2.1

Semplifica $(\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$ .

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Passaggio 9.2.2.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.2.1.1.1

$C$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} - 1)}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} - 1 \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.3

$- 1$ e $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + \frac{- x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 \frac{C - x^{4}}{x^{4}}}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.5

$2$ e $\frac{C - x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{2 (C - x^{4})}{x^{4}}}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.6

Riscrivi $\frac{2 (C - x^{4})}{x^{4}}$ come ${(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C - x^{4}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $2 (C - x^{4})$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{x^{4}}}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.6.2

Scomponi la potenza perfetta ${(x^{2})}^{2}$ su $x^{4}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{{(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C - x^{4}))}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = (\pm \frac{\frac{1}{x^{2}} \sqrt{2 (C - x^{4})}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.1.8

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\sqrt{2 (C - x^{4})}$ .

$y = (\pm \frac{\frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2}}}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.3

Combina.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})} \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.4.1

Moltiplica $\sqrt{2 (C - x^{4})}$ per $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2} \cdot 2}) x$

Passaggio 9.2.2.1.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{2 x^{2}}) x$