Calcolo Esempi

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{3}}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = 7 x^{3}$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y \cdot 2 d y = 7 x^{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y \cdot 2 d y = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\int 2 y d y = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.2.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.2.4.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ come $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$7$ e $\frac{1}{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y^{2} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$

Passaggio 3.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$ .

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Passaggio 3.2.1

$\frac{7}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K}$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

$K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.2.4

Sposta $4$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}}$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi $\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $7 x^{4} + 4 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{4}}$

Passaggio 3.2.5.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.2.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)}$

Passaggio 3.2.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 x^{4} + 4 K}$

Passaggio 3.2.7

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{7 x^{4} + 4 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Passaggio 3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Passaggio 3.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Passaggio 3.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$