Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $9 y^{2} - 4$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi $9 y^{2}$ come ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

Passaggio 1.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 y$ e $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $9 y^{2} - 4$ per $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $9 y^{2}$ come ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Passaggio 1.2.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 y$ e $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di $3 y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Passaggio 1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $3 y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $6 x^{2}$ per $1$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $y$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ come $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $2$ e $y$ con $0$ in $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ .

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.3

Semplifica $3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$16 + K = 0 + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$16 + K = 0$

Passaggio 4.4

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 16$

Passaggio 5

Sostituisci $- 16$ a $K$ in $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 16$ a $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$