Calcolo Esempi

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 (x^{2} + y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 (x^{2} + y^{2})]$

Passaggio 1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 (x^{2} + y^{2})$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 1.4

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y)$

Passaggio 1.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + 6 y] + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5

Poiché $6 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \cdot 1$

Passaggio 2.9

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Passaggio 2.9.2

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $3 (x^{2} + y^{2})$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $3 (x^{2} + y^{2})$ a $M$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $- 1$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{- (- 3 x^{2}) + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2})$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $6 y$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y)$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.7

Riscrivi $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ come $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.8

Scomponi $3$ da $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ .

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Somma $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} + 0)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $- x^{2} - y^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- x^{2} - y^{2}$ e $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.4.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - (y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.4.4

Riscrivi $- (x^{2} + y^{2})$ come $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.4.6

Dividi $- 1 \cdot (- 1)$ per $1$ .

$- 1 \cdot (- 1)$

Passaggio 4.3.5

Riscrivi $- 1 \cdot (- 1)$ come $- (- 1)$ .

$- (- 1)$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci $3 (x^{2} + y^{2})$ a $M$ .

$1$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3 (x^{2} + y^{2})$ per $e^{y}$ .

$3 (x^{2} + y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} + 3 y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ per $e^{y}$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x \cdot x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1} x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.6.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1 + 2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.6.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + 6 x y) e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.7

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Passaggio 8.2

Poiché $3 e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3 e^{y}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Passaggio 8.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Passaggio 8.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Passaggio 8.5

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Passaggio 8.6

Semplifica.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{y} x^{3}$ rispetto a $y$ è $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.4

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y^{2} e^{y} x$ rispetto a $y$ è $3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}]$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = e^{y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.4.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y}) + 3 x (e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x e^{y} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.6.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 11.6.4

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x^{3} e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $3 y^{2} x e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y}$

Passaggio 12.1.3

Sottrai $6 x y e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Passaggio 12.1.4

Combina i termini opposti in $x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Sottrai $x^{3} e^{y}$ da $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} + 0 - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Passaggio 12.1.4.3

Riordina i fattori nei termini di $3 x y^{2} e^{y}$ e $- 3 y^{2} x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 e^{y} y^{2} x + 6 x y e^{y} - 3 e^{y} y^{2} x - 6 x y e^{y}$

Passaggio 12.1.4.4

Sottrai $3 e^{y} y^{2} x$ da $3 e^{y} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} + 0 - 6 x y e^{y}$

Passaggio 12.1.4.5

Somma $6 x y e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} - 6 x y e^{y}$

Passaggio 12.1.4.6

Sottrai $6 x y e^{y}$ da $6 x y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Passaggio 15

Riordina i fattori in $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$ .

$f (x, y) = x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + C$